24.04.2003, 17:48
Hallo
Es wird doch oft gefragt wie man die Choastheorie anwenden kann.
Wie waers mit einem einfachen iterativen Algorithmus zur polynomalen
Aproximation einer Rechteckfuktion ?
(siehe Anhang)
Betrachtet wird die Iteration y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))
(Im folgenden gilt immer a<3)
Konrad und ich haben hier in einigen Threads gezeigt:
Der Attraktor (Repulsor) ist hier (a-1)/a
Der Ljapunovexponent betraegt ln|2-a|
Besitzt bei 2 also eine Polstelle. Ich behaupte mal ganz frech, dass dies
bedeutet, dass die Iteration fuer a=2 am schnellsten konvergiert.
Weiterhin habe wir Polynome p0 p1 p2... pn , vorgestellt, die n Iterationsschritte in einer Abbildung zusammenfassen.Diese Polynome haben recht verrueckte Eigenschaften. Man kann verschiedene graphische
Verfahren verwenden um zu veranschaulichen, wie die Anfangswerte zum Attraktor (a-1)/a gelangen. Ein besonders lustiges ist es die Schnittpunkte der Polynome mit der Geraden (a-1)/a zu betrachten. Daraus kann man schon viel ablesen. Zum Beispiel dass nach n Iterationen maximal
(2 hoch n)-1 Anfangswerte konvergieren koennen.
(Ein Polynom der Ordnung 2hochn hat maximal 2hochn Nullstellen)
Aus der "Dichte" der Schittstellen kan man folgern welcher Bereich der
Anfangswerte am schellsten konvergiert.
Noch Verrueckter.
Die Polynome muessen die Gerade so schneiden, dass fuer n gegen
Unendlich ALLE Punkte der Geraden geschnitten werden muessen !
Am schnellsten werden alle Anfangswerte konvergieren, wenn sich die
Polynome eng an die Gerade anschmieden, diese quasi gut approximieren.
YEAH und das ist bei a=2 der Fall.
Damit haben wir ein iteratives Verfahren, zur Bestimmung eines Polynoms,
das eine Rechteckfunktion sehr gut (besser als Taylorreihe?) approximiert.
Wir muessen dazu nicht mal ein Gleichungssystem loesen.
Wenn das mal keine Anwendung ist !
Das Bild im Anhang erklaert das wohl besser als der Text hier.
Das Polynom p10 ist von der Ordung 1024 !!!
Um so was mit Taylor zu berechen muesste man ein Gleichungssystem mit
1024 Unbekannten loesen !
ciao
crypt
Es wird doch oft gefragt wie man die Choastheorie anwenden kann.
Wie waers mit einem einfachen iterativen Algorithmus zur polynomalen
Aproximation einer Rechteckfuktion ?
(siehe Anhang)Betrachtet wird die Iteration y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))
(Im folgenden gilt immer a<3)
Konrad und ich haben hier in einigen Threads gezeigt:
Der Attraktor (Repulsor) ist hier (a-1)/a
Der Ljapunovexponent betraegt ln|2-a|
Besitzt bei 2 also eine Polstelle. Ich behaupte mal ganz frech, dass dies
bedeutet, dass die Iteration fuer a=2 am schnellsten konvergiert.
Weiterhin habe wir Polynome p0 p1 p2... pn , vorgestellt, die n Iterationsschritte in einer Abbildung zusammenfassen.Diese Polynome haben recht verrueckte Eigenschaften. Man kann verschiedene graphische
Verfahren verwenden um zu veranschaulichen, wie die Anfangswerte zum Attraktor (a-1)/a gelangen. Ein besonders lustiges ist es die Schnittpunkte der Polynome mit der Geraden (a-1)/a zu betrachten. Daraus kann man schon viel ablesen. Zum Beispiel dass nach n Iterationen maximal
(2 hoch n)-1 Anfangswerte konvergieren koennen.
(Ein Polynom der Ordnung 2hochn hat maximal 2hochn Nullstellen)
Aus der "Dichte" der Schittstellen kan man folgern welcher Bereich der
Anfangswerte am schellsten konvergiert.
Noch Verrueckter.
Die Polynome muessen die Gerade so schneiden, dass fuer n gegen
Unendlich ALLE Punkte der Geraden geschnitten werden muessen !
Am schnellsten werden alle Anfangswerte konvergieren, wenn sich die
Polynome eng an die Gerade anschmieden, diese quasi gut approximieren.
YEAH und das ist bei a=2 der Fall.
Damit haben wir ein iteratives Verfahren, zur Bestimmung eines Polynoms,
das eine Rechteckfunktion sehr gut (besser als Taylorreihe?) approximiert.
Wir muessen dazu nicht mal ein Gleichungssystem loesen.
Wenn das mal keine Anwendung ist !
Das Bild im Anhang erklaert das wohl besser als der Text hier.
Das Polynom p10 ist von der Ordung 1024 !!!
Um so was mit Taylor zu berechen muesste man ein Gleichungssystem mit
1024 Unbekannten loesen !
ciao
crypt